独木桥（C++，贪心）-创新互联

（ps：虽说这题是我在贪心类型里面做到的，但我完全没明白到底哪里是贪心）

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战争已经进入到紧要时间。你是运输小队长，正在率领运输部队向前线运送物资。运输任务像做题一样的无聊。你希望找些刺激，于是命令你的士兵们到前方的一座独木桥上欣赏风景，而你留在桥下欣赏士兵们。士兵们十分愤怒，因为这座独木桥十分狭窄，只能容纳 1 1 1 个人通过。假如有 2 2 2 个人相向而行在桥上相遇，那么他们 2 2 2 个人将无法绕过对方，只能有 1 1 1 个人回头下桥，让另一个人先通过。但是，可以有多个人同时呆在同一个位置。

题目描述

突然，你收到从指挥部发来的信息，敌军的轰炸机正朝着你所在的独木桥飞来！为了安全，你的部队必须撤下独木桥。独木桥的长度为 L L L，士兵们只能呆在坐标为整数的地方。所有士兵的速度都为 1 1 1，但一个士兵某一时刻来到了坐标为 0 0 0 或 L + 1 L+1 L+1 的位置，他就离开了独木桥。

每个士兵都有一个初始面对的方向，他们会以匀速朝着这个方向行走，中途不会自己改变方向。但是，如果两个士兵面对面相遇，他们无法彼此通过对方，于是就分别转身，继续行走。转身不需要任何的时间。

由于先前的愤怒，你已不能控制你的士兵。甚至，你连每个士兵初始面对的方向都不知道。因此，你想要知道你的部队最少需要多少时间就可能全部撤离独木桥。另外，总部也在安排阻拦敌人的进攻，因此你还需要知道你的部队最多需要多少时间才能全部撤离独木桥。

输入格式

第一行共一个整数 L L L，表示独木桥的长度。桥上的坐标为 1 , 2 , ⋯   , L 1, 2, \cdots, L 1,2,⋯,L。

第二行共一个整数 N N N，表示初始时留在桥上的士兵数目。

第三行共有 N N N 个整数，分别表示每个士兵的初始坐标。

输出格式

共一行，输出 2 2 2 个整数，分别表示部队撤离独木桥的最小时间和大时间。 2 2 2 个整数由一个空格符分开。

样例 #1 样例输入 #1

4
2
1 3

样例输出 #1

2 4

提示

对于 100 % 100\% 100% 的数据，满足初始时，没有两个士兵同在一个坐标， 1 ≤ L ≤ 5 × 1 0 3 1\le L\le5\times 10^3 1≤L≤5×103， 0 ≤ N ≤ 5 × 1 0 3 0\le N\le5\times10^3 0≤N≤5×103，且数据保证 N ≤ L N\le L N≤L。

解题思路：

注意点1：士兵只能位于整数位置，可以有多个士兵位于同一位置，士兵相遇时会改变方向

也就是说，士兵在同一点时不一定改变自己的方向，只有方向不同时才会改变方向

接下来说明几种特殊情况，当士兵间距为1相向而行时，士兵会在1s后回到自己的原位，但是方向相反

当一名士兵遇到多名士兵时，多名士兵会同时反向，由此可见，其实在同一点的若干士兵可以看做一个士兵

注意点2：桥不应该被理解为线段，而应该被理解为点的集合，桥长代表点的数量，0 和 L+1点代表撤离点（区别于端点），相邻两点间距为1

接下来对解题思路进行说明

（1）最短时间：

最短时间 = max{士兵到撤离点距离的绝对值}

求最短时间时，只需要让士兵向着离自己最近的一端前进即可，很容易证明

（2）最长时间：

<1>如果只有一名士兵，最长时间是其到远端撤离点的距离

<2>有多名士兵，为了说明方便，我们把最左端士兵称为left，最右端士兵称为right，设 L 1 = r i g h t − l e f t L_1 = right - left L1​=right−left那么有最长时间 = L 1 L_1 L1​ + max{left, L + 1 - right}

接下来进行证明

我们只需要考虑 L 1 L_1 L1​范围内的情况，至于为什么emmm，因为来到这个范围以外的士兵行为是单一的，后续处理就是简单的“+ max{left, L + 1 - right}"，这点不予证明

如果有两名士兵，显然让他们对撞才是最长时间 L 1 L_1 L1​

为了之后便于理解，这里说明一下，会发生对撞的两名士兵，从出发到再次回到起点，所需时间即为二者间距

如果有三名士兵，现在证明最长时间为 L 1 L_1 L1​

两侧的士兵一定要向中间走，这是显然的

假设第三名士兵（之后称为middle）在中点右侧，现在讨论他的起始方向

middle若起始向左走，那么一定在中点左侧与left对撞，之后再与right对撞

设 D 1 = m i d d l e − l e f t D_1 = middle - left D1​=middle−left， D 2 = r i g h t − m i d d l e D_2 = right - middle D2​=right−middle

则 T r i g h t = D 1 = m i d d l e − l e f t < r i g h t − l e f t = L 1 T_{right} = D_1 = middle - left< right - left = L_1 Tright​=D1​=middle−left

T m i d d l e = D 1 2 + D 2 + D 1 2 = D 1 + D 2 = r i g h t − m i d d l e = L 1 T_{middle} = \frac{D_1}{2} + D_2 + \frac{D_1}{2} = D_1 + D_2 = right - middle = L_1 Tmiddle​=2D1​​+D2​+2D1​​=D1​+D2​=right−middle=L1​

T l e f t = D 1 2 + D 2 + D 1 2 = D 1 + D 2 = r i g h t − m i d d l e = L 1 T_{left} = \frac{D_1}{2} + D_2 + \frac{D_1}{2} = D_1 + D_2 = right - middle = L_1 Tleft​=2D1​​+D2​+2D1​​=D1​+D2​=right−middle=L1​

middle若起始向右走，则在middle与right对撞后，middle会再与left对撞

则 T r i g h t = D 2 2 + D 1 + D 2 2 = L 1 T_{right} = \frac{D_2}{2} + D_1 + \frac{D_2}{2} = L_1 Tright​=2D2​​+D1​+2D2​​=L1​

T m i d d l e = D 2 2 + D 1 + D 2 2 = L 1 T_{middle} = \frac{D_2}{2} + D_1 + \frac{D_2}{2} = L_1 Tmiddle​=2D2​​+D1​+2D2​​=L1​

T r i g h t = D 2 < L 1 T_{right} = D_2< L_1 Tright​=D2​

综上所述，最长时间为 L 1 L_1 L1​

上面的没看懂也没有关系，现在我要说的才是最关键的 两名士兵对撞你可以看作他们穿过了对方 为什么呢？想一下你就明白了，无论是位置还是方向，能不能穿过对方都没有任何区别 是不是豁然开朗了？最长时间还需要证明吗？

实现代码如下：

#include#includeusing namespace std;

int main() {int L, N, soldier, min, max, min_middle;
	double middle;//中点不一定是整数
	cin >>L >>N;
	min = L + 1, middle = double(L + 1) / 2, min_middle = L + 1, max = 0;
	for (int i = 0; i< N; i++) {cin >>soldier;
		min >soldier ? min = soldier : min = min;
		max< soldier ? max = soldier : max = max;		
		abs(middle - min_middle) >abs(middle - soldier) ? min_middle = soldier : min_middle = min_middle;
	}
	if (min_middle< L + 1 - min_middle) cout<< min_middle<< ' ';
	else cout<< L + 1 - min_middle<< ' ';
	if (min< L + 1 - max) cout<< L + 1 - min<< endl;
	else cout<< max<< endl;
	return 0;
}

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本文标题：独木桥（C++，贪心）-创新互联
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