数据结构——时间/空间复杂度-创新互联

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算法效率：

时间复杂度：

例题：

附加知识：

冒泡排序的时间复杂度求解：

二分查找的时间复杂度求解：

复杂度对比图：

空间复杂度：

例题：

小结：

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算法效率：

算法效率分析包括两种：第一种时间效率（时间复杂度），第二种空间效率（空间复杂度）。时间效率被称为时间复杂度而空间效率被称作空间复杂度。 时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间，在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

时间复杂度：

时间复杂度的定义: 在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂。

推导大O阶方法：

     1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

     2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

     3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

例题：

实例1：

// 请计算一下Func1基本操作执行了多少次？
void Func1(int N)
{
 int count = 0;
 for (int j = 0; j< N ; ++ j)
 {
     ++count;
 }
 for (int k = 0; k< 2 * N ; ++ k)
 {
     ++count;
 }
 int M = 10;
 while (M--)
 {
     ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

可知第一个循环执行n次，第二个循环执行n^2次，第三个循环执行10次。取它们中最高阶的数来代表时间复杂度。这个就相当于高数中的极限无穷小的比较。所以时间复杂度表示为O(N^2)。

实例2：

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k< 2 * N ; ++ k)
 {
     ++count;
 }
 int M = 10;
 while (M--)
 {
     ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

此程序需要执行2*N+10次，根据第2、3项可知时间按复杂度为O(N)。

实例3：

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k< M; ++ k)
 {
     ++count;
 }
 for (int k = 0; k< N ; ++ k)
 {
     ++count;
 }
    printf("%d\n", count);
}

这个便需要根据N和M的具体关系来判断时间复杂度。如果没有具体条件，时间复杂度便是O(N+M)。当N远大于M为O(N)。差不多的时候为O(M)/O(N)。

实例4：

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
 int count = 0;
 for (int k = 0; k< 100; ++ k)
 {
     ++count;
 }
 printf("%d\n", count);
}

若确定常数次，则为O(1)。

附加知识：

有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的大运行次数(上界)

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到

最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)。

冒泡排序的时间复杂度求解：

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
 assert(a);
 for (size_t end = n; end >0; --end)
 {
     int exchange = 0;
     for (size_t i = 1; i< end; ++i)
     {
         if (a[i-1] >a[i])
     {
         Swap(&a[i-1], &a[i]);
         exchange = 1;
     }
 }
 if (exchange == 0)
 {
     break;
 }
}

最坏的情况便是冒泡排序的数列是最混乱的，每个数都需要交换。

第一次：N  第二次：N-1  第三次：N-2 …… 第N次：1。

所以我们发现这是一个等差数列：所以总次数为（N+1）*N/2.时间复杂度便为O(N^2).

二分查找的时间复杂度求解：

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
 assert(a);
 int begin = 0;
 int end = n;
 while (begin< end)
 {
     int mid = begin + ((end-begin)>>1);
     if (a[mid]< x)
         begin = mid+1;
     else if (a[mid] >x)
         end = mid;
     else
         return mid;
 }
 return -1;
}

假设找了N次 则1*2*2*2……*2=N  即2^X=N X=log2N。

因为很多地方不方便写底数，所以时间复杂度便可以简写为O(logN)。

复杂度对比图：

空间复杂度：

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用 了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计 算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

例题：

可知其一共五个变量所以空间复杂度为O(1)。

// 计算阶乘递归Factorial的空间复杂度？
long long Factorial(size_t N)
{
 return N< 2 ? N : Factorial(N-1)*N;
}

递归调用了N层，每次调用建立一个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间 ->0(1)
调用时，建立栈帧；返回时，销毁。所以该程序空间复杂度为O(N)。

小结：

文章篇幅有限，故一些重点的算法题将在下一篇文章来说明，希望大家支持一下，给孩子个努力的动力！！！

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文章题目：数据结构——时间/空间复杂度-创新互联
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