C++中插入排序算法的示例分析

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具体内容如下

基本思想

每次将一个待排序的元素，按其大小插入到已经排好序的子序列的适当位置，知道全部元素插入完成为止。

直接插入排序

1.排序思路

arr[0...i-1]为有序区（刚开始时i=1，有序区只有arr[0]一个元素），arr[i...size]为待排序区，每次将待排序区的第一个元素arr[i]插入到有序区中的适当位置，每趟操作都使有序区增加一个元素，待排序区减少一个元素。

2.排序算法

void InsertSort(int* arr, int size) 
{ 
  if (arr == NULL) 
    return; 
 
  for (int i = 1; i < size; i++) 
  { 
    //1.保存要排序的数 
    int tmp = arr[i];   
    //2.去有序区寻找该数应该插入的位置 
    int j = i - 1; 
    while (j >= 0 && tmp < arr[j]) 
    { 
      //3.把有序区的位置一个一个往后移 
      arr[j + 1] = arr[j]; 
      j--; 
    } 
    arr[j + 1] = tmp; 
  } 
}

3.算法分析

直接插入排序由两重循环构成，外循环进行n-1次。
若初始数据序列递增有序即为正序时，每一趟排序不进入内循环，仅进行一次大小比较。此时元素移动次数为2次（tmp = arr[i]和arr[j+1] = tmp）。所以正序时比较次数和元素移动次数均达到最小值Cmin和Mmin：

Cmin = n-1
Mmin = 2（n-1）

若初始数据序列递减有序即为逆序时，因当前有序区的元素均大于待排序区的元素，所以需要将待插入元素与arr[0...i-1]中全部元素进行比较，这需要进行i次比较；内循环中需将arr[0...i-1]中所有元素后移（i-1）-0+1 = i次，外加tmp = arr[i]和arr[j+1] = tmp的两次移动，一趟排序所需的元素移动次数为i+2次。所以逆序时比较次数和元素移动次数均达到最da值Cmax和Mmax：

Cmax = n(n-1) / 2
Mmax = (n-1)(n+4) / 2

正序时直接插入排序算法的时间复杂度为O(N)，逆序时直接插入排序算法的时间复杂度为O(N^2)。
故直接插入排序算法的时间复杂度为O(N^2)。由于只使用了i、j、tmp三个辅助变量，故空间复杂度为O(1)。
当i > j且arr[i] = arr[j]时，直接将arr[i]插入到arr[j]后，故直接插入排序是稳定的。

折半插入排序（二分插入排序）

1.排序思路

采用折半查找方法先在arr[0...i-1]中找到插入位置，再通过移动元素进行插入
2.排序算法

void InsertSort1(int* arr, int size) 
{ 
  if (arr == NULL) 
    return; 
 
  int i, j, low, high; 
  //1.保存要插入的数 
  for (i = 1; i < size; i++) 
  { 
    int tmp = arr[i]; 
    low = 0; 
    high = i - 1; 
    //2.折半查找插入位置(插入位置为high+1) 
    while (low <= high) 
    { 
      int mid = low + ((high - low) >> 1); 
      if (tmp < arr[mid]) 
        high = mid - 1; 
      else 
        low = mid + 1; 
    } 
    //3.元素后移，插入 
    for (j = i - 1; j >= high + 1; j--) 
    { 
      arr[j + 1] = arr[j]; 
    } 
    arr[j + 1] = tmp; 
  }   
}

3.算法分析

当初始数据序列为正序时，比较次数并不能减少；当为逆序时，比较次数也不会增加。元素移动次数与直接插入排序相同。
故折半插入排序的时间复杂度为O(N^2)，空间复杂度为O(1)，是稳定的。
就平均性能而言，折半查找优于顺序查找，所以折半插入排序优于直接插入排序。

希尔排序

1.排序思路

希尔排序是一种分组插入排序。先取一个小于n的整数d1,作为第一个增量，序列被分为d1组，所有相互之间距离为d1的倍数的元素放在同一个组中，在各组内进行直接插入排序；然后取第二个增量d2（希尔排序每趟并不产生有序区，在最后一趟排序结束之前，所有元素并不一定归位，每趟排完之后，数据越来越接近有序。

2.排序算法

void ShellSort(int* arr, int size) 
{ 
  if (arr == NULL) 
    return; 
 
  int i, j, gap; 
  //1.取gap 
  gap = size / 2; 
  while (gap > 0) 
  { 
    //2.分组比较 
    for (i = gap; i < size; i++) 
    { 
      int tmp = arr[i]; 
      //3.移动元素，插入 
      j = i - gap; 
      while (j >= 0 && tmp < arr[j]) 
      { 
        arr[j + gap] = arr[j]; 
        j -= gap; 
      } 
      arr[j + gap] = tmp; 
    } 
    gap = gap / 2; 
  } 
}

3.算法分析

希尔排序算法的性能分析是一个复杂的问题，它的时间复杂度与所取gap有关，一般认为其时间复杂度为O(N^1.3)，空间复杂度为O(1)。
希尔排序是一种不稳定的算法。

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