多路平衡树—BTree（B树）

      B树属于多叉树，也称多路平衡树。有些地方也将B树称为'B-树',这里‘-’不表示减号。

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■B树的主要性质：

              （1）根节点至少有两个孩子。

              （2）每个非根节点为[[M/2], M]个孩子，这里[M/2]表示向上取整。

              （3）每个非根节点都有[[M/2], M-1]个关键字，并且以升序排列。

              （4）K[i]和k[i+1]之间的孩子节点的值介于k[i]与k[i+1]之间。（5）所有叶子节点都在同一层。

■下面是一个简单的3阶B树：

     如果想给B树中，插入一个关键字，并且关键字的数目超过，且就需要对树进行调整。那就需要寻找关键字的中位数，那怎样快速的寻找关键字呢？

     ▲思路一：

            将所有的关键字进行排序，然后将中位数寻找出来。

      ▲思路二：

              利用快速排序的思想，选一个key值，如果左边个数等于右边个数，则中位数找到，如果没有，就在个数多的一边找出中间位置的关键字作为key值，直到key的左 = 右，则找到关键字，这样的效率更高。

■下面是插入关键字示例：

■下面是具体的实现代码：

#pragma once
//实现B树（实际就是多叉树）

/*
性质：（1）根节点至少要2个节点
      （2）每个非根节点为[(M/2), M]个孩子
   （3）满足左孩子值小于根节点，右孩子值大于根节点
   （4）并且每个非根节点有[(M/2)-1, M-1]个关键字，并且以升序排列
   （5）key[i]和key[i+1]之间的孩子节点值介于key[i]和key[i+1]之间
   （6）所有节点都在同一层
*/

//实现k形式的结构
//如果要实现K，V结构，就需要创建一个结构体，包括K，V
template    //实现M为缺省的，值最好取计数，能够更加方便的求取中位数
struct BTreeNode
{
     K _keys[M];      //关键字的至多个数，多预留一个位置是可以更加方便的求取中位数
     BTreeNode* _subs[M + 1];      //孩子节点的最大数目
     BTreeNode* _parent;    //指向父亲节点
     size_t _size;     //数组中存在的有效关键字的个数
     
     BTreeNode()           //构造B树节点
          :_parent(NULL)
          , _size(0)
     {
          for (int i = 0; i <= M; ++i)
          {
               _subs[i] = NULL;
          }
     }
};

template     //需要返回两个参数，使用结构体
struct Pair
{
     K _first;
     V _second;
     
     Pair(const K& key = K(), const V& value = V())     //缺省参数，会调用默认构造函数
          :_first(key)
          , _second(value)
     { }
};

template 
class BTree
{
     typedef BTreeNode Node;
public:
     BTree()          //无参构造
          :_root(NULL)
     {}
     
     Pair  Find(const K& key)      //查找
     {
          Node* parent = NULL;
          Node* cur = _root;
          while (cur)
          {
               int index = 0;
               while (index < cur->_size)     //在一个节点中找相同的关键字
               {
                    if (key == cur->_keys[index])
                    {
                         return Pair(cur, index);
                    }
                    else if (key < cur->_keys[index])
                    {
                         break;
                    }
                    else
                    {
                         index++;
                    }
               }
               parent = cur;
               cur = cur->_subs[index];
          }
          return Pair(parent, -1);
     }
     
     bool Insert(const K& key)     //插入节点
     {
          //没有节点
          if (_root == NULL)
          {
               _root = new Node;
               _root->_keys[0] = key;
               _root->_size++;
               return true;
          }
          
          //判断返回值
          Pair cur = Find(key);
          if (cur._second != -1)
          {
               return false;
          }
          
          //在节点cur中插入key和sub
          Node* str = cur._first;
          K InsertKey = key;
          Node* sub = NULL;
          while (1)
          {
               _InsertKey(str, InsertKey, sub);    
               if (str->_size < M)    //插入后，节点中的数据个数没有超过规定的
               {
                    return true;
               }
               //插入数据后，节点的数据个数大于规定的数据个数，需要将节点进行分裂
               int mid = (str->_size - 1) / 2;
               int index = 0;
               Node* tmp = new Node;
               
               //先拷贝key
               for (int i = mid + 1; i < str->_size; i++)
               {
                    tmp->_keys[index++] = str->_keys[i];
                    tmp->_size++;
               }
               
               //后拷贝sub
               for (int i = mid + 1; i < str->_size; i++)
               {
                    tmp->_subs[index + 1] = str->_subs[i];
                    if (str->_subs[i])
                    {
                         str->_subs[i]->_parent = tmp;
                    }
               }
               str->_size = (str->_size - 1) / 2;    //更改str的大小
               if (str->_parent == NULL)
               {
                    _root = new Node;
                    _root->_keys[0] = tmp->_keys[mid];
                    _root->_subs[0] = str;
                    _root->_subs[1] = tmp;
                    _root->_size = 1;
                    str->_parent = _root;
                    tmp->_parent = _root;
               }
               else
               {
                    InsertKey = str->_keys[mid];
                    sub = tmp;
                    str = str->_parent;
               }
          }
          return true;
     }
     
     void _InsertKey(Node* cur, const K& key, Node* sub)     //插入key值
     {
          int index = cur->_size - 1;
          while (index >= 0 && cur->_keys[index] > key)    //将后面的数据向后移一位
          {
               cur->_keys[index + 1] = cur->_keys[index];
               cur->_subs[index + 2] = cur->_subs[index + 1];
               --index;
          }
          cur->_keys[index + 1] = key;    //插入数据及其子节点
          cur->_subs[index + 2] = sub;
          if (sub)
               sub->_parent = cur;
          cur->_size++;
     }
     
     void InOrder()
     {
          _InOrder(_root);
     }
     
     void _InOrder(Node* root)
     {
          if (root == NULL)
          {
               return;
          }
          for (int i = 0; i < root->_size; i++)
          {
               cout << root->_keys[i] << " ";
               _InOrder(root->_subs[i]);
          }
     }
 
protected:
     Node* _root;
};

void Test()
{
     int a[] = { 53, 75, 139, 49, 145, 36, 101 };
     BTree t;
     for (size_t i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(a[0]); ++i)
     {
          t.Insert(a[i]);
     }
     t.InOrder();
}