Laplace数值反变换

■ 问题提出在博文逆Laplace数值逆变换给出了数值计算Laplace逆变换的简易程序。其中存在以下几个问题需要讨论：问题1：程序实现过程原理以及优化；问题2：运算参数：，，对于积分数值的影响。从上篇博文中明显看到有些计算出的结果大大偏离的实际值。比如其中的函数所计算出来的幅值超过了1.01程序实现原理以及优化1.Laplace逆运算所以，算法的核心是对进行傅里叶反变换，然后在乘以。由于确认变换后的函数是实函数，因此，为了节省计算时间，只对傅里叶反变换的积分，进行正半轴的积分，同时积分的上限由参数决定。对积分的数值取齐实部，再乘以2便可以得到。2.Python积分程序实现优化使用梯形积分来实现函数的积分，可以获得更精确的积分值。理论分析可知：其中以及。那么积分误差上限为：其中，，。▲ 图2.1 梯形积分方法示意图计算可以有两种方式：方式1：对左、右黎曼积分加权平均：方式2：利用如下的公式计算：最后实现的代码为：def trapz(f, a, b, N=50): x = linspace(a, b, N+1) y = f(x) y_right = y[1:] y_left = y[:-1] dx = (b-a) / N T = dx/2 * sum(y_right + y_left) return T利用上述公式，对进行积分测试：printf(trapz(sin, 0, pi/2, 1000))所得到结果为：0.9999997943832332。可以看到使用n=1000对应的结果后面的积分精度达到了小数点后面6位9的小数点的位数。3.实现Laplace逆运算通过上面梯形积分方法，实现Laplace数值逆变换，具体的子程序如下面所示。#------------------------------------------------------------def invlt(t, fs, sigma, omiga, nint): omigadim = linspace(0, omiga, nint+1, endpoint=True) y = [(exp(1j*o*t) * fs(sigma+1j*o)).real for o in omigadim] y_left = y[:-1] y_right = y[0:] T = sum(y_right + y_left) * omiga/nint return exp(sigma*t) * T/ pi / 2#------------------------------------------------------------def fs(s): return 1/(s*s+1)#------------------------------------------------------------sigma = 0.2omiga=200nint=omiga*50tdim = linspace(0, 2*pi* 3, 200)ft = [invlt(t, fs, sigma, omiga, nint) for t in tdim]02一些基本函数的实验下面通过对一些基本常见函数的laplace变换，来测试一下上述程序的性能。Ⅰ.sin(t)sigma=0.2, omiga=200, nint=omiga*50Ⅱ.exp(-t)sigam=-1+0.1, omiga=200, nint=omiga*50Ⅲ.u(t)Ⅳ.u(t-1)Ⅴ.周期化脉冲信号※ 结论通过原理分析，可以获得建议的Laplace数值逆运算的正确的PYTHON算法程序。这个程序是直接对Laplace反变换公式利用梯形积分方法获得计算结果。通过对几种常见的信号Laplace的反变换，验证了这个算法的正确性。通过在此过程，可以看到，对于参数sigma, omiga, nint对于计算结果还是有很大的影响。另外，对于时间t，只能在比较小的范围内有效，当t超过一定长度，前面所计算的结果都会出现比较大的误差。▲ 对于方波进行Laplace数值反变换的结果参考资料逆Laplace数值逆变换: https://zhuoqing.blog.csdn.net/article/details/107241738

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卓大大，请问AI电磁组不进圆环会加时间吗？规则上写不要求进圆环，但圆环进比不进的时间更长一些，那这个赛道元素的意义是什么？之前记得您有过类似回答，但是找不到了谢谢您~

回复：这主要是为了使得AI电磁组能够在普通的赛道上完成比赛，而不必对赛道进行改造。同时，圆环的存在也会对AI电磁组在数据训练是产生影响。

卓老师好，关于AI电磁组的有个情况需要向您反映一下，规则中规定车模运行方向不限，这里有个bug，如果车倒着跑，电感依然只距离后轮轴心往前5cm,这样安装是符合目前公布的规则的，但因为舵机在后，也就是转向机构在后，相当于获得了25cm+的物理前瞻，这样通过传统电磁寻迹的方法也能轻松获得不错的速度，我想这里应该是一个BUG。

现在因为时间紧，不少同学都想用传统方法来钻空子，同时因为今年没有全国统一场地的国赛，还有云比赛的存在，对参赛车模具体采用了什么方法也不利于检查，需要更多的人力，，所以我认为应该限制运行方向，不能倒着跑，从一定程度上可以打消部分人钻空子的念头，此建议仅供卓老师参考。

回复：谢谢你的建议。关于这方面，我们将会给出竞赛规则补充说明，限制车模只能往前行。

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重庆分公司，新征程启航

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